Soal dan Jawaban Alajabar Linear

Assalamu'alaikum
Syalom
Om Swati Astu
Namo Budaya
Salam Kebajikan
Salve

Sodara sodara semua, berikut soal dan jawaban Aljabar Linear UAS Ganjil 2019-2020 STIKOM Artha Buana Kupang.
Kalo masih ada yang pening dengan memegani kening, ayo....tinggalkan keningnya....eh.  tinggalkan sedihnya dan lihat hasil koreksian sodara, siapa tahu ada benernya.

Soal :

1.       Bila diketahui persamaan garis sebagai berikut :

2x – 4y +2 = 0

  x + 3y + 4 = 0

Carilah nilai X dan Y yang merupakan titik potong kedua persamaan garis tersebut !

Jawaban :

2x – 4y +2 = 0

  x + 3y +4 = 0   

2x – 4y =-2

  x + 3y =-4   x2   Eliminasi

2x – 4y =-2

2x + 6y =-8 _

     -10y= 6  

          y= -6/10 = -0.6

Subtitusi  Nilai Y

x + 3y = -4

x + 3*(-6/10) =- 4

x - 18/10 = -4

x = -4 + 18/10

x = (-40/10)-(18/10)

x = -22/10 = -2.2

Jadi titik potong kedua persamaan tersebut terletak pada titik (-2.2 , -0.6)

2.       Diketahui sebuah matrik :

        

Carilah invers matrik tersebut !

Jawaban :

Dengan menggunakan cara penyelesaian Matrik Eselon Baris Tereduksi diperluas,maka  :

       

Jadi Inverse dari matrik

 ==> 

 





Bagaimana ....klo di tweeter entu "bijimane" ya jawabannya ? apakah memuaskan atao malah banyak garuk-garuk kepala ?  santai aja, ini kan mau libur panjang jadi jangan dipikirkan.  Pikirkan saja, baju baru, sepatu baru, pacar baru dan yang baru lainnya.

Menjawab Persamaan Garis dan TIPOT

Soal :
1. Carilah persamaan garis yang melalui titik (1,-3) !

Jawab :
Dari titik tersebut dapat diketahui nilai x=1 dan y=-3, sehingga persamaan garisnya menjadi :
-3y = 1
   y = -1/3 x

Maka, gambar persamaan garisnya adalah sebagai berikut :

Gambar 1. Grafik Persamaan garis y=-1/3x

2. Carilah titik potongnya dari kedua persamaan garis y=2x dan y=5x-4 !
Jawab :
Masukkan y=2x kedalam persamaan y=5x-4, menjadi :
2x= 5x-4, pindahkan ruas kiri ke kanan dan -4 ke ruas kiri, menjadi :
4  = 5x-2x
4  = 3x
x  = 4/3
Masukkan x=4/3 kedalam persamaan y=2x
y=2*4/3 = 8/3
sehingga nilai x dan y sudah diketahui pada titik (4/3, 8/3). Dengan kata lain bahwa titik potong kedua garis adalah di titik (4/3, 8/3)

Gambar 2. Titik potong 2 garis 

3. 

Menjawab pertanyaan saudari Irma.  Mudah-mudahan saya tidak salah menterjemahkan permintaannya.

1. Persamaan garis yang melalui titik (2,5) adalah di ?

Garis pada dasarnya mempunyai 2 buah ujung (mempunyai 2 titik yang apabila ditarik garis dari kedua titik tersebut maka akan menjadi sebuah garis lurus).  Dengan kata lain, kalau hanya diketahui 1 buah titik (2,5), maka titik yang kedua (ujung lainnya) adalah bisa berada dimana saja/bebas (x,y).

Misalnya diasumsikan titik lainnya tersebut adalah (10,2), maka kita dapat membuat persamaan garisnya sebagai berikut :

Titik 1   = (2,5) sebagai (X1,X1) 

Titik 2   = (10,2) sebagai (X2,Y2)

dengan menggunakan rumus pada :

  ⇒ ⇒ 

Lakukan crosing menjadi :

-3(X-2)=8(Y-5)

-3x+6 = 8y - 40

-3x + 6 +40 = 8y

-3x + 46 = 8y

Y = (-3x+48)/8 

Maka dengan input data sederhana (tabel), maka akan diperoleh garisnya sebagai berikut :

Gambar 3. Grafik persamaan garis dari titik Y = (-3x+48)/8 

2. Untuk titik potong pada 2 buah persamaan :

y = 2x + 6 dan y = -x + 3 adalah :

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka akan diperoleh :

y = 2x + 6

y = -x + 3 ; lakukan eliminasi salah satu variabelnya (apakah x atau y-nya) dengan cara mengurangkan susun ke bawah.

y = 2x + 6

y = -x + 3  -

0 = 3x +3; pindahkan +3 ke sisi kiri menjadi -3 = 3x.

Sehingga x = -3/3 = -1

Karena x sudah ketemu, maka ambil salah satu persamaan dan masukan nilai x tersebut kedalam persamaan, maka akan diperoleh nilai y.

Misalnya kita ambil persamaannya adalah  y = -x +3, maka :

Y = -x + 3

Y = -(-1) + 3

Y = 4

Maka kedua persamaan tersebut akan berpotongan pada titik (-1,4)

Grafik dari data yang dimasukkan diperoleh gambar sebagai berikut :

Gambar 4. Grafik titik potong dari persamaan y=2x+6 dan y=-x+3

Mungkin ini yang bisa saya jawab kalau saya tidak salah menerimanya.

SOAL dan JAWABAN Aljabar Linear UAS 2015

Guys, kali ini saya akan menuliskan Soal dan Jawaban mata kuliah Aljabar Linear UAS Semester Ganjil TA 2015-2016.

Soal sih gampang, tapi jawabannya itu lo yang agak agak.....
Btw....ya harus dijawab ........
Syukur-syukur Pak Ahmad baik hati, misalnya 30 pengumpul pertama nilai + 1 (itu namanya semua ditambah 1)

Mudah-mudahan pak lupa koreksinya.....sehingga semua dapat nilai bagus.......

Soalnya adalah sebagai berikut :

1.     Diketahui persamaan linear sebagai berikut :

a.    -2x + y = 10

b.     X – 2y =2

Dari persamaan tersebut carilah nilai x dan y –nya !

Dari persamaan a. Buatlah grafik garisnya !

2. Diketahui persamaan-persamaan sebagai berikut :

        5x – 2y + 4z = 0

        -x  +   y – 2z  = 0

         x  + 4y + 3z = 0

Pilih salah satu soal berikut dan kerjakan :

a.       Carilah nilai x, y dan z-nya dari ke 3 persamaan tersebut dengan menggunakan metode Augmented Matrix !

b.      Carilah nilai invers-nya dengan menggunakan metode Matriks Eselon Baris Tereduksi !

Jawaban

1. Dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi akan diketahui nilai x dan y dari persamaan berikut :

a.       -2x + y = 10

b.             X – 2y = 2

Metode Eliminasi :

-2x +   y = 10

   x – 2y = 2         : *2

-----------------

-2x +  y = 10

 2x - 4y = 4

----------------- +

      -3y  = 14

         y   = -14/3

Metode Subtitusi :

X – 2y = 2

X – 2(-14/3) = 2

X = 2 - 28/3

X = 6/3 – 28/3

X = -22/3

Grafik dari persamaan a adalah sebagai berikut :

Gambar 1. Grafik persamaan garis -2x + y = 10

1. Diketahui persamaan :

5x - 2y + 4z  =0

 -x +  y  - 2z  =0

  x + 4y + 3z =0

a. Nilai x, y dan z dari persamaan tersebut dengan menggunakan metode Augmented Matrix adalah :

Dengan augmented matrix diperoleh :

setelah direposisi matrik menjadi seperti di bawah dan dengan operasi OBE, dicari matrik eselon baris tereduksinya :

Pada matrik di atas, dilakukan perkalian dengan sebuah nilai dari baris 1 dan ditambahkan dengan nilai baris ke 2 atau ke 5, sehingga angka -1 dan 5 menjadi 0 (bahwa dalam 1 kolom, bila sudah ditemukan nilai pivot-nya, maka nilai lain pada kolom tersebut harus 0). Menjadi :

Pada matrik paling atas yang mempunyai angka 5 pada baris kedua, harus diubah menjadi 1 (pivot), sehingga perlu dikalikan dengan kebalikannya.

Diperoleh matrik terakhir sebagai berikut :

Karena sudah menjadi matrik eselon baris tereduksi, maka nilai masing-masing x,y dan z adalah :

a.     Mencari invers matrik dengan Augmented Matrix aturannya adalah sebagai berikut :

 [A:I]à [I:A^-1]

5x - 2y + 4z  =0

 -x +  y  - 2z  =0

  x + 4y + 3z =0

dari persamaan di atas, dibuat terlebih dahulu kedalam bentuk Augmented Matrix sebagai berikut :

Sehingga inversnya adalah :

Perkalian Matrik

Momok....momok.....momok........

Pak Guru ngamuk

Bila matrik menjadi bahasan biasanya kita ngacir pulang duluan ato ngumpet dibawah meja.  Karena biasanya guru pengajarnya pasti judes, ngga enak diliat, sok pinter dan lain sebagainya deh.......

 

Bu Guru Galak

Nah, kali ini saya akan bahas perkalian matrik yang biasanya dibawakan oleh guru judes sekarang akan dijelaskan oleh  orang ganteng........(diliat dari sedotan teh botol.....xixixixiixi) 

Perkalian matrik hanya dapat dilakukan bila persyaratannya dipenuhi, yaitu : bila matrik A berukuran mxp dan matrik B berukuran pxn. Hasil kali kedua matrik tersebut adalah matrik baru dengan ukuran mxn.

Misalkan diketahui matrik berukuran :

1.  2x3 dan 3x4, maka matrik hasil kalinya berukuran 2x4
2. 2x3 dan 2x4, maka tidak ada hasil kalinya, karena jumlah kolom pada matrik pertama tidak sama dengan ukuran kolom matrik kedua. (sehingga ada nilai yg tidak mempunyai pasangan perkalian --> klo pigi pesta ngga ada pasangan kex orang ilang gitu, pasti pembaca pernah ngalamin deh.....tuh kan kliatan dari baunya....xixiixixiix).
3. 3x2 dan 2x1, maka matrik hasil kalinya berukuran 3x1

Dilustrasikan model perkalian matrik dengan matematis dijelaskan sebagai berikut :

Colj(B)

Maka, matrik hasil perkaliannya diperoleh dengan :

            row_i(A)col_j(B) = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_ipb_pj  = c_ij

Contoh :

Dari perkalian di atas, dapat dijelaskan bahwa, matrik pertama berukuran 2x3 dan matrik kedua berukuran 3x2, maka perkalian bisa dilakukan karena banyak kolom pada matrik 1 sama dengan banyaknya baris pada matrik kedua.  Kemudian matrik baru hasil perkalian adalah berukuran 2x2.

Atau dengan menggunakan kata-kata, kita bisa mengalikan matrik depan dengan belakang menjadi :

ontoh yang lain, misalnya diketahui 2 buah matrik A = 

dan matrik B = 

, maka hasil kalinya akan diperoleh ukuran matrik baru à 2x1. Maka hasil kalinya adalah :

Diketahui 2 buah matrik  yaitu :

Kalau bu gurunya begini ?

, maka hasil perkalian kedua matrik tersebut adalah : 0 alias tidak ada hasil.  Mengapa ?  Karena ukuran matriknya tidak sesuai dengan persyaratan perkalian, yaitu mxp dan pxn (jumlah kolom pada matrik pertama tidak sama dengan jumlah baris matrik kedua)

Demikian sekelumit uraian singkat tentang perkalian matrik dengen penjelasan sederhananya.

Apabila masih belum bisa mengerti mohon dibaca berulang-ulang, kalo capek tidur ......eh......
Kalau masih ngga ngerti boleh kok kirim makanan, terus nanti aku jelasin.   Xixiixixixixiixi......

Garis Tegak Lurus Pada Titik Potong 2 Persamaan Lain

Bila diinginkan dicari sebuah titik yang tegak lurus (persamaan)  dari 2 persamaan, maka penyelesaiannya berurutan :

1. Dicari cari lebih dahulu titik potong 2 persamaannya,
2. Dicari Gradien dari titik potong tersebut dengan persamaan yang tegak lurus dari titik potong tersebut.
3. Dicari titik yang tegak lurus tersebut (yang tidak lain adalah titik yang juga berpotongan pada titik potong sebelumnya).

Misalkan :

Diketahui persamaan garis 2x + 5y = 1 dan x - 3y = -5, carilah titik potongnya !  Titik Potong tersebut tegak lurus pd garis dengan persamaan 2x - y + 5 = 0

Maka cara penyelesaiannya adalah :

1.      Menggunakan metode eliminasi untuk mencari nilai x dan y (titik potong) pada persamaan 1 & 2

2x + 5y = 1

X - 3y = -5

Dengan eliminasi maka, persamaan 1 dikalikan dengan 1 dan persamaan 2 dikalikan dengan 2 (agar jumlah x sama), menjadi :

2x + 5y = 1      |*1|

  x – 3y = -5     |*2| 

-------------------------   -

2x + 5y = 1

2x – 6y = -10     

-----------------   -

       11y = 11

           y = 1

Subtitusikan nilai y=1 kedalam salah satu persamaan, misalnya 2x + 5y = 1

2x + 5y = 1

2x + 5(1) = 1

2x + 5 = 1

2x = 1 – 5

2x = -4

x = -4/2

x = -2

Sehingga titik potong kedua persamaan tersebut adalah di titik (-2,1)

2.      Mencari nilai gradien / m pada persamaan ke-3

2x – y + 5 = 0

-y = -2x – 5

y = 2x + 5

m = 2

3.      Membuat persamaan berdasarkan nilai x, y, dan m yang telah ditemukan tadi

y - y1 = m (x – x1)

y – 1 = 2 (x – (-2))

y – 1 = 2x + 4

y = 2x + 4 + 1

y = 2x + 5 adalah persamaan garis yang didapat, dimana garis ini tegak lurus pada kedua garis sebelumnya.

Hasil pembuktiannya dapat dilihat pada Gambar berikut :