02 October 2014

Matrik Eselon Baris Tereduksi - Pertemuan 4

Hallo guys, saat ini saya ingin menyajikan materi tentang Matrik Eselon Baris Tereduksi, yaitu suatu matrik MxN yang mempunyai aturan khusus.
Aturan khusus itu adalah sebagai berikut :
  1. Jika ada baris yang terdiri dari nol semuanya, maka baris tersebut terletak paling bawah dari matriks.
  2. Elemen pertama yang tidak nol dari tiap baris adalah elemen 1, dan ini disebut dengan leading element dari baris tersebut.
  3. Jika baris ke-i dan ke-i+1 adalah dua baris yang berurutan yang tidak terdiri dari nol semuanya, maka leading element dari baris i+1 terletak disebelah kanan dari leading elemen dari baris i.
  4. Jika satu kolom memuat leading elemen dari sebarang baris, maka semua elemen selain leading elemen adalah nol.
Contohnya adalah sebagai berikut :


Gambar 1. Matrik Eselon Baris Tereduksi

Sehingga dari itu, kita bisa membedakan dengan matrik berikut, apakah termasuk eselon tereduksi atau bukan ?  Coba tebak !!!!


Gambar 2. Apakah termasuk Matrik Eselon Baris Tereduksi ?

Cara untuk membuat sebuah matrik eselon baris tereduksi dari matrik biasa dapat diuraikan secara jelas pada Materi Presentasi pada Link berikut :

Materi 4 - Matrik Eselon Baris Tereduksi

Demikian singkat uraian ini, mungkin lain kali akan disajikan secara lebih lengkap.
Terima kasih.

25 September 2014

Sifat-sifat Operasi Matrik - Pertemuan 3

SIFAT-SIFAT OPERASI MATRIKS

Kali ini, mudah-mudahan pembaca bisa lebih mudah memahami tulisan saya.  Kalau masih belum jelas, bisa tanya pada rumput tetangga, mungkin lebih tahu......xixiixixixiix

I. Sifat Penjumlahan

 Diberikan matriks A, B, dan C yang penjumlahannya terdefinisi.
  1. A + B = B + A
  2. A + (B + C) = (A + B) + C
  3. Ada matriks nol, O, sedemikian hingga A + O = A
      Matriks O ini disebut dengan matriks identitas terhadap penjumlahan.
  4. Untuk setiap matriks A, ada matriks -A sedemikian hingga A + (-A) = O. Matriks –A ini disebut dengan matriks invers terhadap penjumlahan

Contoh :
A+B=B+A

A + (B + C) = (A + B) + C

Matrik A ditambah dg Matrik –A = 0

II. Sifat Perkalian
Diberikan matriks A, B, dan C yang perkaliannya terdefinisi.
 1. (AB)C = A(BC)
 2. A(B + C) = AB + AC
 3. (A + B)C = AC + BC
 4. Ada matriks I sedemikian hingga AI = IA = A.
Matriks I disebut matriks identitas terhadap perkalian.

Contoh :
(AB)C = A(BC)

III. Sifat Perkalian Skalar & Matriks

Jika r dan s adalah bilangan real, dan A dan B adalah matriks, maka
 1. r(sA) = (rs)A
 2. (r + s)A = rA + sA
 3. r(A + B) = rA + rB
 4. A(rB) = r(AB) = (rA)B
Contoh :
r(sA) = (rs)A

IV. Sifat transpose

Jika r adalah skalar, dan A dan B adalah matriks, maka
 1. (At)t = A
 2. (A + B)t = At + Bt
 3. (AB)t = BtAt
 4. (rA)t = rAt
Suatu matriks A = [aij] dikatakan simetris jika At = A
Contoh :
(At)t = A

Perpangkatan pada Matriks
Misal A adalah matriks b.s. dan p adalah bil.bulat positif, maka :

Jika A adalah matriks berukuran n x n, maka
A0 = In
Sifat Perpangkatan :
Misal p dan q adalah bilangan bulat non negatif, dan A dan B adalah matriks, maka
1. ApAq = Ap+q
2. (Ap)q = Apq
3. (AB)p = ApBp jika dan hanya jika AB = BA

Demikian ulasan sedikit dari saya, semoga bisa bermanfaat.

Materi Presentasi bisa didownload pada link di bawah :

Materi Matrik Lanjutan - Pertemuan 3

18 September 2014

Bahasa Reguler - Pertemuan 3 - Teknik Kompilasi


Bahasa regular adalah penyusun ekspresi reguler (ER)
Ekspresi reguler terdiri dari kombinasi simbol-simbol atomik menggunakan 3 operasi yaitu :

– katenasi,
– alternasi, dan
– repetisi / closure

Pada kasus scanner, simbol-simbol atomik adalah karakter-karakter di dalam program sumber. Dua buah ekspresi regular adalah ekuivalen jika keduanya menyatakan bahasa yang sama


Katenasi /konkatenasi atau sequencing disajikan dengan physical adjacency
  • e.g. ekspresi regular ‘ ’ bentuk penyajian sederhana (diasumsikan sebagai definisi yang jelas dari letter dan digit) komposisi terurut dari letter diikuti dengan digit
  •  “<” dan “>” digunakan untuk mengidentifikasi simbol-simbol yang merepresentasikan simbol-simbol spesifik (menggunakan ekspresi regular)
  • Kita bisa menggunakan “::=” (ekivalensi) untuk menggabungkan ekspresi regular yang didefinisikan dengan dan  

Alternasi membolehkan pilihan dari beberapa pilihan dan biasanya disajikan dengan operator ‘|’

  • E.g. ::= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
  • contoh yang menggunakan juga operator ekivalensi

Bentuk tulisan cepat tertentu juga biasanya digunakan dengan alternasi (khususnya ellips)
  • E.g. ::= a | b | … | z | A | B | … | Z
  • Can use the ellipses (“…”) when a sequence is well defined
 
Terakhir, Repetisi membolehkan ekspresi dari kontruksi yang diulang beberapa kali

Terdapat 2 operator yang digunakan yaitu superscript ‘+’ dan superscript ‘*’ 
  • E.g. ::= +
  • this implies a word consists of one or more letters (* would imply zero or more letters and a word must have at least one letter so we use +) 
Selengkapnya bisa dilihat pada tautan di bawah ini :

Bahasa Reguler - Pertemuan 3 


Notasi dan Operasi Dasar Matriks - Pertemuan 2

Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan real yang tersusun atas baris dan kolom.
Menurut Suryadi dan Machmudi (1984), matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun / dijajarkan secara empat persegi panjang (menurut baris-baris dan kolom-kolom)
Dalam http://id.wikipedia.org/, dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu : 

\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}.  


Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3 dimensi.
Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{bmatrix}
\! 

Notasi Matrik 
Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurung siku/kurung kurawal:
 \mathbf{A} = 
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{bmatrix}.
 

Operasi Dasar

Penjumlahan dan Pengurangan Matrik
Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.
a_{ij} \pm b_{ij} = c_{ij}\!
atau dalam representasi dekoratfinya


\begin{bmatrix}
(a_{11} \pm b_{11}) & (a_{12} \pm b_{12}) & (a_{13} \pm b_{13}) \\
(a_{21} \pm b_{21}) & (a_{22} \pm b_{22}) & (a_{23} \pm b_{23}) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\
\end{bmatrix}
\! 

Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}

Contoh perhitungan :

5 \cdot
  \begin{pmatrix}
    1 & -3 & 2 \\
    1 &  2 & 7
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
   5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\
   5 \cdot 1 & 5 \cdot   2  & 5 \cdot 7
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    5 & -15 & 10 \\
    5 & 10  & 35
  \end{pmatrix}
 

Perkalian Matrik
Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama ,
 c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj} 
Contoh perhitungan :


  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
    6 & -1 \\
    3 & 2 \\
    0 & -3
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
     1 \cdot 6  +  2 \cdot 3  +  3 \cdot 0 &
     1 \cdot (-1) +  2 \cdot 2 +  3 \cdot (-3) \\
     4 \cdot 6  +  5 \cdot 3  +  6 \cdot 0 &
     4 \cdot (-1) +  5 \cdot 2 +  6 \cdot (-3) \\
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    12 & -6 \\
    39 & -12
  \end{pmatrix}
 
Demikian contoh ulasan sedikit.  Sedangkan materi presentasi bisa didownload pada link di bawah ini.

Matriks - Pertemuan 2 - Aljabar Linear  

12 September 2014

Contoh Coding membuat Garis

Buat mahasiswa MK Grafika Komputer kelas Adan B, mohon dicoba ini,
Jangan lupa PR-nya !!!!!
Program inti untuk membuat garis terletak pada tulisan warna biru.
Apabila garisnya lebih dari 1, maka kita tinggal meng copy tulisan warna biru menjadi sejumlah garis yang diinginkan.  Tapi ingat, nama variabelnya harus berbeda !!!!!!

Listing Programnya sabagai berikut :

package penggunaanawt;

import java.awt.*;
import java.awt.event.*;
public class Titik extends Frame implements ActionListener{
    int x = 100;
    int y = 100;
public static void main(String[] args) {
    Frame frame = new Titik();
    frame.setSize(640, 480);
    frame.setVisible(true);
}
public Titik() {
setTitle("AWT Titik");
// create menu
    MenuBar mb = new MenuBar();
    setMenuBar(mb);
    Menu menu = new Menu("File");
    mb.add(menu);
    MenuItem mi = new MenuItem("Exit");
    mi.addActionListener(this);
    menu.add(mi);
// end program when window is closed
    WindowListener l = new WindowAdapter()  {
    public void windowClosing(WindowEvent ev) {
    System.exit(0);
    }
    };
this.addWindowListener(l);
// mouse event handler
MouseListener mouseListener = new MouseAdapter() {
public void mouseClicked(MouseEvent ev) {
    x = ev.getX();
    y = ev.getY();
    repaint();
}
};
addMouseListener(mouseListener);
}

public void paint(Graphics g) {

g.setColor(Color.blue);

int jumlahtitik = 1;
    while (jumlahtitik <=100){
        g.fillRect(100+jumlahtitik, 100+jumlahtitik, 1, 1); // membuat titik dengan format (x,y,lebar x pixel, lebar y pixel)
        jumlahtitik++; }

}
public void actionPerformed(ActionEvent ev) {
String command = ev.getActionCommand();
if ("Exit".equals(command)) {
System.exit(0);
}
}
}



Tengkyu......... ini tidak termasuk dalam listing....